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Dieses ist die Basis des von uns gewählten Optimierungsansatzes. Wir interessieren uns für die Frage, wie die Lösung des folgenden Problemes aussieht: Wähle 22 Spieler aus, so dass der Kader im Sinne der KMS Spielregeln zulässig ist und die Summe der ggfs. Diese Aufgabenstellung entspricht dem Prototyp eines Optimierungsproblems und ist ein klassisches Beispiel für Entscheidungsfindung. Allerdings enthält schon die Formulierung des Optimierungsproblemes offensichtlich mindestens eine Annahme, die zweifelhaft ist.

Der Fussball wäre kaum so interessant, wenn die neue Saison tatsächlich einfach ein Abbild der vergangenen Saison wäre. Wir relativieren dieses später noch durch die Einführung von Gewichtungsfaktoren, die die Integration von persönlichen Präferenzen und Visionen erlauben. Doch das grundlegende Problem bleibt bestehen: wir kennen die Zukunft nicht. In diesem Sinne sollen optimierte Lösungen also nur als Entscheidungshilfe dienen und keinesfalls dem Anspruch genügen, tatsächlich das KMS zu gewinnen.

In Sektion 2 formulieren wir ein mathematisches Optimierungsproblem, dessen Lösung die obige Problemstellung beantwortet.

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In Abschnitt 3 beschreiben wir eine Optimierungssoftware, die wir kostenfrei zur Verfügung stellen und erläutern insbesondere, warum selbst die schnellsten Computer nicht einfach alle Möglichkeiten ausprobieren können. In Abschnitt 4 geben wir beispielhaft optimale Lösungen für einige Szenarien an. Zum einen müssen Aussagen darüber getroffen werden, ob ein Spieler in den Kader aufgenommen wird oder nicht.

Am einfachsten ist dies mit Hilfe von Variablen möglich, die nur den Wert 0 oder 1 annehmen können, sogenannten Binärvariablen. Um die Schreibarbeit zu verringern, schreiben wir kürzer x i, wobei nun i für einen speziellen Spieler steht. Die Menge aller Spieler bezeichnen wir als S. Der Ausdruck i S bedeutet also, dass i repräsentativ für einen der ca.

Ähnliche Men- Menge S T A M S V V j Beschreibung Gesamtmenge aller Spieler Menge aller Torhüter Menge aller Abwehrspieler Menge aller Mittelfeldspieler Menge aller Stürmer Menge aller Vereine Menge aller Spieler bei Verein j, j V Tabelle 1: Mengen des MILPs. Es gilt also insbesondere, dass die Menge.

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Dieser Trick erlaubt uns eine kompakte Schreibweise der Summe der Vorjahrespunkte. Wenn wir für jeden Spieler i S die Vorjahrespunkte mit p i bezeichnen, so ist unter Verwendung des Summenzeichens die zu maximierende Summe p i x i. Da die Variablen x i nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, gibt die Summe also genau die Summe der Vorjahrespunkte aller Spieler in unserem Kader an. Die Regeln des KMS schränken die Kaderzusammenstellung ein. So ist ein Kader nur dann zulässig, wenn KMS1 der Kaderwert 42,5 Mio EUR nicht übersteigt, KMS2 er genau 3 Torhüter, 6 Abwehrspieler, 8 Mittelfeldspieler und 5 Stürmer enthält, KMS3 er max.

Zudem gibt es noch Einschränkungen für die aufgestellte Elf pro Spieltag: KMS4 max. Nach diesen Definitionen können wir nun das Optimierungsproblem mathematisch in einer Standardform als sogenanntes mixed-integer linear program MILP formulieren. Für jeden Spieler i S bezeichnen wir die Transferkosten mit k i in Mio EUR und die Punktewerte der Vorsaison mit p i. Nebenbedingung 1b stellt sicher, dass das verfügbare Budget von 42, 5 Mio EUR eingehalten wird KMS1.

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Nebenbedingungen 1c stellen sicher, dass ein vollständiger Kader zusammengestellt wird KMS2 ; 1d beschränkt die Spieler auf maximal 4 von jedem Verein KMS3. Die verwendeten Konzepte sind prototypisch für die Formulierung von Optimierungsproblemen: zuerst die Definition von Variablen, dann die einer zu maximierenden Zielfunktion und zu.

Dies erlaubt, für jeden beliebigen Kader einen Vektor von Variablen x i anzugeben, die ihn darstellen. Durch Einsetzen in 1b-1d kann man dann überprüfen, ob der Kader zulässig im Sinne des KMS ist und welchen Wert die Zielfunktion 1a hat. Um die individuelle Entwicklung einzelner Spieler und Vereine im Optimierungsmodell berücksichtigen zu können, gibt es zwei Möglichkeiten die Vorjahrespunkte zu gewichten.

Zum einen ist jeder Spieler mit einem individuellen Faktor e i ausgestattet. Thomas Kraft, der in der vergangenen Saison 12 Spiele für den FC Bayern München absolvierte, nun aber bei Hertha BSC voraussichtlich Stammtorhüter ist und somit wohl deutlich mehr Spiele absolvieren wird, in denen er die Chance hat Punkte zu sammeln.

Einen Wert kleiner als 1 würde man für Spieler wählen, bei denen man erwartet, dass sie in der kommenden Saison weniger Punkte als im Vorjahr erzielen. Neben dem individuellen Faktor gibt es noch die Möglichkeit eine Prognose für das Abschneiden eines Vereins im Vergleich zum letzten Jahr in die Optimierung einfliessen zu lassen.

Hat ein Team in der letzten Saison besonders gut bzw. Verbesserung, und damit einhergehend auch eine schlechtere bzw.

Durch Hinzunahme dieser beiden Gewichtungsfaktoren ändert sich die Zielfunktion 1a somit zu max p i e i t j i x i. Eine solche Zusammenstellung ist allerdings eher ungewöhnlich für das KMS, da man z.

Gängiger ist beim KMS daher die Taktik einen Kader aus 11 bzw 14 teuren Stammspielern zusammenzustellen und mit günstigen Spielern Marktwert von etwa 0. EUR aufzufüllen.

Diese Taktik lässt sich ebenfalls in unserem Optimierungsproblem anwenden. Dazu werden neue Binärvariablen s i eingeführt, die angeben, ob ein Spieler Stammspieler ist. In der Zielfunktion strebt man dann eine Maximierung der Vorjahrespunkte dieser Spieler an, also max p i e i t j i s i.

Zusätzlich muss man noch sichergestellt werden, dass jeder Stammspieler auch überhaupt gekauft wird. Dies geschieht durch Hinzunahme der Nebenbedingungen s i x i i S. Durch zusätzliche Nebenbedingungen kann sichergestellt werden, dass möglichst viele der Stammspieler auch gemeinsam im KMS aufgestellt werden können. Ähnlich wie in der berühmten Geschichte des indischen Maharadscha mit den verdoppelten Reiskörnern pro Schachfeld ist die Anzahl der Möglichkeiten jedoch astronomisch hoch.

Erfreulicherweise erlauben die methodischen Fortschritte von Optimierungsverfahren, die beweisbar beste Lösung in einem Bruchteil einer Sekunde zu berechnen, und dies auf einem handelsüblichen PC oder Notebook. Hierbei kommt uns zugute, dass das Optimierungsproblem 1 eine spezielle Struktur aufweist: die des Rucksack engl. Eine anschauliche Erläuterung des Rucksack-Problemes ist ein Dieb, der sich bei einer gegebenen Menge von Gegenständen für die wertvollsten entscheiden muss. Hierbei muss er berücksichtigen, dass er nur ein gewisses Gewicht oder Volumen transportieren kann.

Abstrakt gesehen entspricht dies genau der Managerentscheidung, mit einem limitierten Budget die wertvollsten Spieler auszuwählen. Diese unscheinbare Problemformulierung tritt als Subproblem in vielerlei mathematischen und wirtschaftlichen Anwendungen auf und wird seit mehr als einem Jahrhundert ausgiebig studiert.

Moderne Optimierungssoftware kann diese spezielle Problemklasse daher besonders effizient behandeln. Da wir unser Problem, einen bestmöglichen Kader einzukaufen, bereits in der MILP-Standardform aufgeschrieben haben, können wir es nun mit geringem Implementierungsaufwand von einer solchen Optimierungssoftware einlesen und lösen lassen. Dabei steht uns eine Vielzahl an kommerziellen, aber auch kostenlosen Programmen zur Verfügung.

Wir entscheiden uns, aufgrund seiner besonders einfachen Problembeschreibungssprache, für das GNU Linear Programming Kit GL- PK , das unter [2] kostenlos sowohl für Linux als auch für Windows zum Download bereit steht. Nach Installation dieser Software kann sich der interessierte Leser unter [1] eine Implementierung unseres Modells herunterladen und diese ausprobieren. Darin findet man nach dem Entpacken für Windows-Nutzer eine kickermanager. Nach Aufruf eines dieser Programme werden im Unterordner results drei Textdateien best In eigenen csv-dateien für jede Spielergruppe defender.

Dabei wurden die individuellen Gewichtungen einzelner Spieler und Mannschaften in einer selbsternannten Expertenrunde bestimmt. Der Kader mit 22 Stammspielern besteht dann aus: Starke, Trapp, ter Stegen - Dante, de Jong, Barth, Balogun, Noveski, Schmelzer - Balitsch, Rupp, Reus, Höger, Holtby, Töre, Pinto, Tiffert - Allagui, Esswein, Schieber, Lakic, Shechter. Dieser Kader ist beim KMS unter dem Namen IWR Team22 angemeldet und öffentlich einsehbar.

Dieser Kader nimmt unter dem Benutzernamen IWR Team14 am KMS Interactive teil. Der dritte Kader mit 11 Stammspielern besteht aus: Unnerstall, Radlinger, Trapp - Balogun, Brooks, Noveski, Hummels, Schmelzer, Schulze - Holtby, Hegeler, Reus, Tiffert, Schulz K Lautern , Stefanovic A. Dieser Kader ist unter IWR Team11 angemeldet. Alle hier verwendeten Gewichtungen können unter [1] eingesehen werden. Dies überlassen wir dem geneigten Leser als Einstieg in unser Optimierungs-tool.

Auch für a posteriori Analysen ist der framework geeignet. So könnte man untersuchen, ob es eine der Bundesliga-Abschlusstabelle entsprechende Gewichtung der Mannschaften gibt, die gute Ergebnisse erzielt hätte. Auch das Kicker-Bewertungssystem als solches lässt sich analysieren und ggfs. Unserer Ansicht nach offen ist auch die statistische Korrelation zwischen Spieler- und Teamperformance in einer Saison.

In diesem kurzen essay haben wir exemplarisch an einem Managerspiel den Einsatz von Optimierungsmethoden aufgezeigt. Literatur [1] J. Frasch, D.

Janka, R. Kircheis, and S. Kicker Manager Spiel Software. GNU Linear Programming Kit, version. Sommer Informationsblatt Induktionsbeweis März Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln.

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www. Kippels Februar Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als. Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also.

Was würde.